Generalized Ehrhart Polynomials

Let P be a polytope with rational vertices. A classical theorem of Ehrhart states that the number of lattice points in the dilations P (n) = nP is a quasi-polynomial in n. We generalize this theorem by allowing the vertices of P (n) to be arbitrary rational functions in n. In this case we prove that the number of lattice points in P (n) is a quasi-polynomial for n sufficiently large. Our work was motivated by a conjecture of Ehrhart on the number of solutions to parametrized linear Diophantine equations whose coefficients are polynomials in n, and we explain how these two problems are related. Résumé. Soit P un polytope avec sommets rationelles. Un théorème classique des Ehrhart déclare que le nombre de points du réseau dans les dilatations P (n) = nP est un quasi-polynôme en n. Nous généralisons ce théorème en permettant à des sommets de P (n) comme arbitraire fonctions rationnelles en n. Dans ce cas, nous prouvons que le nombre de points du réseau en P (n) est une quasi-polynôme pour n assez grand. Notre travail a été motivée par une conjecture d’Ehrhart sur le nombre de solutions à linéaire paramétrée Diophantine équations dont les coefficients sont des polyômes en n, et nous expliquer comment ces deux problèmes sont liés.